丹尼尔.卡尼曼DanielKahneman
阿莫斯.特沃斯基AmosTversky
本篇论文对作为一种风险条件下制定决策的描述性模型的预期效用理论（expectedutilitytheory）提出批评，并提出称为期望理论（prospecttheory）的替代模型。在风险期望中的选择显示出几个与效用理论的基本信条相矛盾的普遍效应。尤其，人们会低估与确定得到的结果相比只是具有或然性的结果。这种称为确定性效应（certaintyeffect）的倾向是造成涉及确定赢利的选择中风险厌恶（riskaverse）与涉及确定损失的选择中风险喜好（riskseeking）的部分原因。另外，人们一般会抛开所有考虑中的期望所共有的成分。这种称为孤立效应（isolatingeffect）的倾向在同一个选择以不同的方式提出时会导致不一致的偏好。我们会提出一种替代的理论，在该理论中，价值以损益（gainsandlosses）而不是最终的资产表示，而概率为决策权重所取代。通常，价值函数（valuefunction）对于收益是下凹的，对于损失是上凸的，而且曲线一般在损失区间内比收益区间内更为陡峭。除了在小概率区间的情况，决策权重一般小于相应的概率。对小概率的高估可能是保险与赌博具有吸引力的部分原因。
1、导言（INTRODUCTION）
预期效用理论在风险条件下的决策分析中居于支配地位。它已被普遍接受为理性选择的标准化模型，并被广泛用作经济行为的描述性模型。因而，人们认为所有理性的人都愿意遵循该理论的原则，而实际上多数人多数时间都会遵循其理论原则。
本文描述了几个类别的选择问题，在这些问题中偏好系统地违反了预期效用理论的原则。根据这些观察结果，我们认为预期效用理论并非如通常所解释和应用的是一种充分的描述性模型，我们将提出一种风险条件下选择的替代描述。
2、批评（CRITIQUE）
风险条件下的决策制定可以视为在两种期望或赌博中进行选择。一个期望就是一份产生概率为的结果的合约。其中，。为了简化符号，我们省略了为零的结果，并用(x,p)表示产生概率为p的结果x与概率为1-p的结果0的期望(x,p;0,1-p)。产生确定性结果x的无风险期望表示为(x)。现在的讨论局限于所谓的客观概率或标准概率的期望。
预期效用理论在期望选择中的应用是基于以下三个信念：
（1）数学期望：。
即，一个期望的总效用（用U表示）等于其所有结果的预期效用。
（2）资产综合：当时，对于资产状况w，是可以接受的。
即，假如由某人的资产和期望共同产生的效用大于该资产单独产生的效用，那么该期望就是可以接受的。因此，效用函数的定义域为资产的最终状况（包括某人的资产状况）而不是损益。
尽管效用函数的定义域并不局限于任何特定类别的结果，但是该理论的应用大多与货币形式表示的结果有关。而且，多数经济应用引出了下面的附加假设：
（3）风险厌恶：u是下凹的（u’’<0）。
假如一个人更喜欢确定的期望(x)而非任何期望值为x的风险期望，那么此人就是风险厌恶的。在预期效用理论中，风险厌恶等于效用函数的凹度。风险厌恶的普遍性或许就是关于风险选择的广为人知的普遍性。它导致18世纪的早期的决策理论专家提出效用是货币的下凹函数，而且这一观点仍保留在现代的论述中。
在下面的章节中，我们论证了几个违反预期效应理论信念的现象。论证是基于学生和教工对于假设的选择问题的回答。回答者被提供了下面说明的类型的问题：
下列问题中，你会选择哪一种？
A：50%的机会赢得1000，B：确定赢得450。
50%的机会什么都赢不到；
结果系指以色列货币。为了正确评价有关数额的意义，请注重一个家庭的月均净收入大约为3000以色列镑。回答者被要求设想他们面临着问题中描述的选择，并指出在这种情况下他们会制定的决策。回答是不记名的，答卷说明中规定这些问题没有“正确”答案，而学生的目的是发现人们如何对风险期望进行选择。问题以问卷形式提出，每个小册子中不超过12个问题。每个问卷被设计成几种形式，以便受试者按不同的顺序进行答题。另外，每个问题采用两种表达方式，其中，期望的左右位置是颠倒的。
本文中描述的问题是经过挑选的对一系列效应的说明。每种效应都已在不同结果和概率的几个问题中被观察到。某些问题还被提供给斯德哥尔摩大学与密歇根大学的学生和教工群体。结果在形式上与从以色列受试者那里得到的结果基本上是相同的。
对假设选择的信赖提出了关于方法的有效性与结果的普遍性的显著问题。我们敏锐地发现了这些问题。然而，所有其他用来验证效应理论的方法也碰到了严重的障碍。现实的选择既可以在学术领域用经济行为自然的或统计上的观察结果进行检验，也可以在实验室进行检验。学术领域的研究只能对定性猜测提供粗略的检验，因为概率与效用在这种场合不能得到准确的度量。实验室的实验被设计用来从实际选择中得到对效用和概率的精确度量，但是实验研究通常会包含人为的小赌注赌博以及大量的非常相似问题的重复。实验赌博的这些特征使得对结果的解释变得复杂，并限制了其普遍性。
在缺少别的方法的情况下，假设选择的方法就成为最简单的程序，通过该程序大量的假设问题能够得到检验。该方法的应用依靠于人们通常知道他们在实际情况中的行为这一假设，而且依靠于受试者没有非凡的原因以隐瞒其真实偏好这进一步的假设。假如人们能够理性地精确猜测其选择，在假设问题中对预期效用理论频繁而系统的违反就为反对该理论提供了推理依据。
确定性、概率与可能性（Certainty,Probability,andPossibility）
在预期效用理论中，结果的效用以其概率来衡量。本章节描述了一系列人们的偏好系统地违反这一原则的选择问题。我们首先指出，相对于具有或然性的结果，人们高估被认为是确定的结果。我们将这种现象称为确定性效应。
有关预期效用理论最闻名的反例是由法国经济学家MauriceAllais在1953年提出的，这一反例揭示了确定性效应。Allais的例子已为许多作者在规范和描述两个方面讨论过。下面这一对选择问题是Allais的例子的一个变例，它与原先的例子的区别在于它包含了中等而不是极为巨大的收益。每个问题的回答者的数目表示为N，每个选项的选择百分比在括号中给出。
问题1：做出选择
A：2500，概率为0.33，B：2400，确定。
2400，概率为0.66，
0，概率为0.01；
N=72[18][82]*
问题2：做出选择
C：2500，概率为0.33，D：2400，概率为0.34，
0，概率为0.67；0，概率为0.66。
N=72[83]*[17]
数据显示，82%的受试者在问题一中选择B，83%的受试者在问题二中选择C。这些偏好中每一种偏好的显著度都达到0.01，如星号所示。而且，对每种选择形式的分析指出，在两个问题中大多数回答者（61%）都做出了众数选择。偏好的方式在Allais原先描述的行为方式方面违反了预期效用理论。根据预期效用理论，当u(0)=0时，第一种偏好暗示
u(2400)>0.33u(2500) 0.66u(2400)或0.34u(2400)>0.33u(2500)
而第二种偏好暗示着相反的不等式。注重：问题二是由问题一通过在所考虑的两个期望中消去0.66的机会赢得2400而得到的。显然，当期望的特征由确定收益变为或然收益时，比起原先的和减少后的期望都是不确定的时候，这种变化大大地降低了满足度。
下面给出了对同一个现象的更为简单的说明，涉及到只有两个结果的赌博。这个例子也是基于Allais的例子。
问题3：
A：（4000，0.80），或B：（3000）。
N=95[20][80]*
问题4：
C：（4000，0.20），或D：（3000，0.25）。
N=95[65]*[35]
在这一对问题及本章节的所有其他几对问题中，超过半数的回答者违反了预期效用理论。为了显示问题三和问题四中偏好的众数形式与该理论的不相一致，我们设u(0)=0，并回顾选项B暗示着u(3000)/u(4000)>4/5，而选项C则暗示着相反的不等式。注重：期望C=(4000,0.20)可表示为(A,0.25)，而期望D=(3000,0.25)可记为(B,0.25)。预期效用理论的代入法则认为，若B优于A，则任意概率的组合(B,p)必优于组合(A,p)。我们的受试者并没有遵循这一法则。显然，收益的概率从1.0降至0.25比从0.8降至0.2具有更大的影响。下面一对选择问题说明了非货币形式结果的确定性效应。
问题5：
A：50%的机率赢得英格兰、法国B：确定赢得英格兰一周游。
和意大利三周游；
N=72[22][78]*
问题6：
C：5%的机率赢得英格兰、法国D：10%的机率赢得英格兰一周游。
和意大利三周游；
N=72[67]*[33]
确定性效应并非唯一一种违反代入法则的情况。该法则失效的另一种情况在下面问题中得到说明。
问题7：
A：（6000，0.45），B：（3000，0.90）
N=66[14][86]*
问题8：
C：（6000，0.001）D：（3000，0.002）
N=66[73]*[27]
注重：在问题七中收益的概率是很大的（0.90与0.45），多数人选择了更有可能取得收益的期望。在问题八中，也有取得收益的可能性，尽管在两个期望中收益的概率是微不足道的（0.002与0.001）。在这种有可能取得收益但收益的可能性又不大的情况下，多数人选择了提供较大收益的期望。类似的结果已为MacCrimmon和Larsson所报道。
上面的问题说明了人们通常对待风险或机率的观点，这些观点无法为预期效用理论捕捉到。这些结果提出了以下违反代入法则的形式的经验概括。若(y,pq)等于(x,p)，则(y,pqr)优于(x,pr),0<p,q,r<1。该性质没有并入本论文第二部分提出的替代理论中。
反射效应（ReflectionEffect）
在上一节中我们讨论了正期望（即，不涉及损失的期望）之间的偏好。把结果的符号颠倒过来使收益为损失所替代，这时会出现什么情况？表一中左边一栏列示了前面一节中讨论的四个选择问题，右边一栏列示了结果的符号相反的选择问题。我们用-x表示损失x，用>表示普遍的偏好（即，为大多数受试者所做的选择）。
表1正期望与负期望之间的偏好
正期望负期望
问题3：(4000,0.80)<(3000)N=95[20][80]*问题4：(4000,0.20)>(3000,0.25)N=95[65]*[35]问题7：(3000,0.90)>(6000,0.45)N=66[86]*[14]问题8：(3000,0.002)<(6000,0.001)N=66[27][73]*问题3’：(-4000,0.80)>(-3000)N=95[92]*[8]问题4’：(-4000,0.20)<(-3000,0.25)N=95[42][58]*问题7’：(-3000,0.90)<(-6000,0.45)N=66[8][92]*问题8’：(-3000,0.002)>(-6000,0.001)N=66[70]*[30]
表1中的四个问题每一个问题的负期望之间的偏好是正期望之间的偏好的镜象（mirrorimage）。因此，期望以0为中心的反射颠倒了偏好的顺序。我们称这种模式为反射效应（reflectioneffect）。
现在，我们来看上述数据的含意。首先，请注重反射效应暗示着正域的风险厌恶伴随着负域的风险喜好。例如，在问题3’中，多数受试者愿意优先接受0.80的概率损失4000的风险（尽管该项赌博的期望价值更低），而不是确定的损失3000。在负期望的选择中风险喜好的出现最早为Markowitz注重到。在Williams披露的数据中，结果的转化带来从风险厌恶到风险喜好的戏剧性变化。例如，Williams的受试者并不在乎在（100，0.65；-100，0.35）和（0）之间选择哪个，这表明了风险厌恶。他们也不在乎在（-200，0.80）和（-100）之间选择哪个，这表明了风险喜好。近来，在Fishburn与Kochenberger所做的回顾中记录了负期望的选择中普遍存在的风险喜好。
其次，回顾一下，表1中正期望之间的偏好与预期效用理论是不相一致的。相应的负期望之间的偏好也以同样的方式违反了预期原则。例如，问题3’与问题4’象问题3与问题4一样，说明了确定得到的结果相对不确定的结果被高估。在正域中，确定性效应导致了对确定收益的风险厌恶偏好，而不是对仅具有或然性的更大收益的风险厌恶偏好。在负域中，同一效应导致了对仅具有或然性的损失的风险喜好偏好，而不是对确定的更小损失的风险喜好偏好。对确定性的高估这同一项心理学原理在收益域支持风险厌恶，在损失域却支持风险喜好。
第三，反射效应消除了作为确定性效应解释的对不确定性或易变性的厌恶。例如，来看一下对（3000）而不是（4000，0.80）及对（4000，0.20）而不是（3000，0.25）的普遍偏好。为了解决这种明显的不一致性，我们可以假设人们偏好具有较大期望值与较小方差的期望。因为（3000）方差为零而（4000，0.80）有较大的方差，所以，尽管期望值较小但是前一个期望仍可能被选择。然而，随着期望的降低，在（3000，0.25）与（4000，0.20）之间的方差差异可能不足以补偿期望值的差异。因为与（-4000，0.80）相比，（-3000）既有较大的期望值又有较小的方差，基于这种考虑应优先选择确定的损失，这与数据是相反的。因此，我们的数据与确定性是普遍的期望这一观念是不相一致的。而且，似乎确定性强化了对风险的厌恶及对收益的期望。
概率保险（ProbabilisticInsurance）
为防范重大和微小两类损失而购买保险的普遍性已为多数人视为资金效用函数的凹度的有力证据。不然的话，人们为什么愿意花费大量的金钱用超过预期的精算价格购买保险单？然而，对不同形式保险的相对吸引力的评审并不支持资金效用函数处处为下凹的观点。例如，人们通常偏好可扣除金额较小或为零、保险总额有限的保险方案，而不是类似的可扣除金额较大、最高保险总额较大的保险单。这与风险厌恶是相反的。另一种人们的反应与凹度假说不相一致的类型的保险问题，可被称为概率保险（probabilisticinsurance）。为了说明这个概念，我们来看下面的问题，该问题曾被提供给斯坦福大学的95名学生进行测试。
问题9：假设你考虑为某些财产投保以防范损害（比如，火灾或被盗）的可能性。在仔细考察过风险与保险费之后，你发现自己对购买保险与不为财产投保这两种选择没有明确的偏好。
接着，保险公司新推出的称作概率保险的方案引起了你的注重。在这种方案中，你支付正常保险费的一半。假如发生了损害，你有50%的机会支付另一半保险费并由保险公司为全部损失保险；你有50%的机会取回已支付的保险费并承受全部损失。例如，假如事故发生在一个月中某个单日，你支付正常保险费的另一半，而你的损失得到保险；但是，假如事故发生在一个月中的某个双日，你支付的保险费就退还给你，而你的损失就不被保险。
回忆一下，全部保险总额的保险费只是让你熟悉到这种保险几乎不值那个价。
在这些情况下，你是否愿意购买概率保险：
是否
N=95[20][80]*
虽然问题9可能显得不太真实，但是值得注重的是，概率保险代表了很多种形式的防范行为，在这些行为中人们支付一定的费用以降低不喜欢的事件发生的概率，而不是完全消除其发生的概率。安装防盗铃、更换旧轮胎以及决定戒烟均可被视为概率保险。
对问题9及对同一问题的其他变形的反应表明概率保险普遍缺乏吸引力。显然，将损失的概率从p降至p/2比将损失的概率从p/2降至0的价值要小。
与这些数据形成对照的是，预期效用理论（u下凹）表明了概率保险优于正常的保险。即，假如在资产状况为w时某人愿意支付保险费y为概率为p的损失x投保，那么，该人应该一定愿意支付一笔更小的保险费ry将损失x的概率从p降至(1-r)p,0<r<1。形式上，假如某人认为(w-x,p;w,1-p)与(w-y)无甚区别，那么，该人应该偏好概率保险(w-x,(1-r)p;w-y,rp;w-ry,1-p)而不是正常的保险(w-y)。
为了证实这一命题，我们指出
pu(w-x) (1-p)u(w)=u(w-y)
表示
(1-r)pu(w-x) rpu(w-y) (1-p)u(w-ry)>u(w-y)。
不失一般性，我们可设u(w-x)=0及u(w)=1。由此，u(w-y)=1-p，而我们希望说明
rp(1-p) (1-p)u(w-ry)>1-p或u(w-ry)>1-rp
当且仅当u下凹时成立。
这是效用理论的风险厌恶假设的一个相当令人困惑的结果，因为概率保险直观上显得比正常的保险（完全消除了风险因素）的风险更大。很显然，对风险的直观看法并没有被假设的财富效用函数的凹度有效地捕捉到。
对概率保险的厌恶尤其令人困惑，因为所有的保险在某种意义上都是概率的。最热衷于购买保险的人面对许多未投保的财务与其他风险仍是易受损害的。在概率保险与所谓意外保险之间似乎存在着明显的差异。意外保险提供了为所有指定类型的风险投保的确定性。例如，将防范你家里东西的所有类型的损失或伤害的概率保险与消除所有被盗损失风险但对其他风险（比如，火灾）不投保的意外保险进行比较。我们猜测，当未加防范的损失的概率相等时，意外保险一般会比概率保险更具有吸引力。因此，两个概率和结果相等的期望因其表述方式的不同可能具有不同的价值。在下一节中，我们将描述几个对这一普遍现象的说明。
分离效应（TheIsolationEffect）
为了简化在不同选择对象之间的选择，人们经常撇开选择对象共有的成分，而将注重力集中于使之区别开来的成分。这种用于选择问题的方法会产生不一致的偏好，因为将一对期望分解为普遍而各具特点的成分可能有不只一种方式，不同的分解方式有时会导致不同的偏好。我们将这种现象称为分离效应（isolationeffect）。
问题10：考虑以下的双阶段游戏。在第一阶段，有0.75的概率结束游戏但得不到任何收益，有0.25的概率进入第二阶段。假如你进入第二阶段，你便有以下选择
（4000，0.80）与（3000）
你必须在游戏开始前做出选择，即，在第一阶段的结果出来之前做出选择。
注重：在这个游戏中，你可以在0.25×0.80=0.20的机会赢得4000与0.25×1.0=0.25的机会赢得3000之间做出选择。因此，根据最终的结果和概率你面临着（4000，0.20）与（3000，0.25）之间的选择，正如前面的问题4情况。然而，这两个问题中占有优势的偏好是不相同的。在141位对问题10做答的受试者中，有78%的人选择了后一个期望，这与问题4的众数偏好相反。显然，人们忽视了游戏的第一阶段（其结果为两个期望共享），而象前面的问题3一样，将问题10作为在（3000）与（4000，0.80）之间的选择来考虑。
问题4标准的与连续的表述分别在图1和图2中被描述为决策树（decisiontree）的形式。按照通常的习惯，正方形表示决策点（decisionnodes），圆圈表示机会点（chancenodes）。这两种描述方式的根本不同在于决策点的位置。在标准形式中（图1），决策者面临两种风险期望中的选择，在连续形式（图2）中，决策者面临一种风险期望与一种无风险期望中的选择。这是通过在期望之间引入依靠性而不改变概率和结果来实现的。尤其，在连续表述形式中，事件“没有赢得3000”被包括在事件“没有赢得4000”中。因此，赢得3000的结果在连续表述中就具有确定性优势，而在标准表述中该结果就没有这一优势。
图1问题4的决策树描述（标准形式）
图2问题10的决策树描述（连续形式）
事件之间的依靠性导致的期望的颠倒是尤其值得注重的，因为这违反了期望之间的选择仅由最终状态的概率所决定这一决策理论分析的基本假设。
以上述形式中的一种而不是另一种十分自然地描述的决策问题是很轻易考虑的。例如，在两个不同的风险事件之间的选择可能被视认为是以标准形式进行的。另一方面，下面的问题极有可能以连续的形式描述。你可能会投资于某项冒险活动，在该项冒险活动失败时有一定的概率你会失去自己的本金，并且你可以在成功后在约定的固定回报与按一定的百分比取得收益之间做出选择。分离效应表明，相对于具有相同概率和相同结果的有风险的冒险活动，固定回报有条件的确定性增强了这一选择的吸引力。
前面的问题说明了对概率的不同描述会如何改变偏好。现在，我们要说明改变对结果的描述会如何改变选择。
来看下面的问题，这些问题被提供给两组不同的受试者。
问题11：除了你所拥有的，你又得到1000。现在，你被要求做出选择
A：（1000，0.50），B：（500）。
N=70[16][84]*
问题12：除了你所拥有的，你又得到2000。现在，你被要求做出选择
C：（-1000，0.50）D：（-500）
N=68[69]*[31]
大多数受试者在第一个问题中选择了B，在第二个问题中选择了C。这些偏好符合我们在表1中观察到的反射效应，该效应显示了对正期望的风险厌恶与对负期望的风险喜好。不过，注重在根据最终状态考虑问题时，这两个选择问题是相同的。尤其
A=（2000，0.50；1000，0.50）=C，B=（1500）=D。
事实上，问题12是由问题11在初始奖金中增加1000并在所有结果中减去1000而得到的。显然，受试者没有将奖金与期望合并起来。奖金没有加入期望的比较中，因为对于每个问题的两个选项奖金是共有的。
问题11与问题12中观察到的结果的模式显然与效用理论是不相一致的。例如，在该理论中，同样的效用被确定为100000美元的财富，而不管它是从原先的95000美元还是105000美元的财富得到的。因而，在100000美元总财富与对等机会得到95000美元或105000美元之间的选择，应该与你目前拥有的财富是少于还是多于这两个数额无关的。基于风险厌恶的附加假设，该理论要求拥有100000美元的确定性应该总是优于有风险的选项。然而，对问题12以及先前几个问题的反应显示，假如个人拥有了较小金额而不是较大金额的财富，这一模式会起作用。
对问题11与问题12中两个选项共有的奖金的明显忽视提示我们，价值或效用的载体是财富的变化而不是包括目前财富在内的资产的最终状况。这一结论是一种风险选择替代理论的基石，下一节将讨论这一理论。
3、理论（THEORY）
前面的讨论回顾了几个似乎使作为一种描述性模型的预期效用理论失去效力的经验效应。本文将在余下的章节中提出一种个人在风险条件下进行决策的替代描述，这种替代描述称为期望理论。该理论是针对具有货币形式结果与给定概率的简单期望发展而来的，但是可以推广至更复杂的选择问题。期望理论将选择过程分为两个阶段：前期的编辑阶段与随后的评估阶段。编辑阶段包括对所给期望的初步分析，通常会产生这些期望较为简单的描述。在第二阶段，经过编辑的期望得到评估，价值最大的期望被选中。下面，我们将对编辑阶段进行概括，并提出一种正式的评估阶段模型。
编辑阶段的作用是对意见进行组织和再表述，以简化后面的评估与选择。编辑包括运用几种运算方式来变换与所给期望有关的结果与概率。编辑阶段主要的运算描述如下。
数据转换（Coding）。上一节讨论的论据表明，人们通常将结果理解为损益而不是财富或福利的最终状态。当然，损益相对于某种中性的参考点进行定义。参考点通常与目前的资产状况相符，在这种情况下损益与实际收到或支付的数额相一致。然而，参考点的定位以及随后将结果转换为收益或损失，可能会受到所给期望的表述方式的影响，也可能受到决策者的预期的影响。
合并（Combination）。有时，期望可以通过合并与同样的结果有关的概率而得到简化。例如，期望（200，0.25；200，0.25）可简化为（200，0.50），并以这种形式被评估。
分离（Segregation）。某些期望包含了一个在编辑阶段中从有风险成分中分离出来的无风险成分。例如，期望（300，0.80；200，0.20）自然地分解为确定收益200与有风险期望（100，0.80）。类似地，很轻易看出期望（-400，0.40；-100，0.60）包含了确定损失100与期望（-300，0.40）。
上面的运算单独应用于单个期望。以下的运算应用于由两个或更多期望组成的系列。
约减（Cancellation）。前面描述的分离效应的实质就是舍弃所给期望所共有的成分。因此，我们的回答者显然忽视了问题10提出的连续游戏的第一阶段，因为该阶段是由两个选项共有的，所以，他们只评估了关于第二阶段结果的期望（见图2）。类似地，他们也忽视了问题11与问题12中增加到期望上的共有的奖金。另一种类型的约减涉及到对共有要素的舍弃（即，结果-概率成对组合）。例如，在（200，0.20；100，0.50；-50，0.30）与（200，0.20；150，0.50；-100，0.30）之间的选择，可以通过约减而简化为在（100，0.50；-50，0.30）与（150，0.50；-100，0.30）之间的选择。
另外两种应该提到的运算是简化与优势检测。第一种是指通过概率或结果的四舍五入而简化期望。例如，期望（101，0.49）可能被再转换为对等机率赢得100（译注：即（100，0.50））。一种非凡重要的简化形式涉及到对极端不可能结果的舍弃。第二种运算涉及到浏览所给期望以检测出占绝对优势的备选方案，这些方案不经进一步评估即被否决。
因为编辑运算使决策工作变得轻易，所以，我们假设它们总是能得到应用。然而，某些编辑运算或者答应或阻止了其他运算的运用。例如，假如两个期望的第二个因素被简化为（100，0.50），那么，（500，0.20；101，0.49）会显得比（500，0.15；99，0.51）占优势。因此，最终编辑过的期望可能取决于编辑运算的顺序，顺序可能会随着所给的一组数据的结构而变化，也可能随着数据编排的格式而变化。对这个问题具体的研究超出了目前讨论的范围。在本文中，我们讨论的选择问题可以做以下合理的假设：期望的初始表述方式无须做进一步的编辑，或者经过编辑的期望可以被清楚无误地确定。
许多偏好的异常来自于期望的编辑。例如，与分离效应有关的不一致性是由对共有成分的约减造成的。某些选择的不切实际可以用消除了期望之间的小差异的简化来解释。更普遍的情况是，对期望的偏好次序不一定是一成不变的，因为同一个已给出的期望可以根据其出现的上下文采用不同的编辑方式。
在编辑阶段之后，假定决策者对每个编辑过的期望进行评估并挑选出价值最高的期望。一个编辑过的期望的总价值（表示为V）用两种尺度来表示，即π和v。
第一种尺度π使每个概率p对应着一个决策权重π(p)，π(p)表示p对期望的总价值的影响。然而，π并非是一种对概率的度量，稍后我们将看到π(p) π(1-p)一般小于整体1。第二种尺度v为每个结果x确定一个数字v(x)，v(x)表示该结果的主观价值。回忆一下，结果相对于某个参考点进行定义，参考点就作为价值尺度的零点。由此，v度量的是价值相对参考点的偏差，即损益。
目前的表述形式与(x,p;y,q)形式的简单期望有关，该形式至多有两个非0结果。在这样的期望中，你得到概率为p的x、概率为p的y及概率为1-p-q的结果0，式中p q≤1。假如其结果全部为正，即，假如x,y>0且p q=1，则所给的期望严格为正；假如其结果全部为负，则期望严格为负。假如一个期望既非严格为正又非严格为负，则该期望就是正则的。
本理论的基本方程描述了π和v相结合以决定正则期望总价值的形式。
若(x,p;y,q)为正则期望（即，或p q<1，或x≥0≥y，或x≤0≤y），则
（1）V(x,p;y,q)=π(p)v(x) π(q)v(y)
式中，v(0)=0，π(0)=0，且π(1)=1。如同在预期效应理论中，V根据期望进行定义，而v根据结果进行定义。这两种尺度适用于确定期望，这里有V(X,1.0)=V(x)=v(x)。
方程（1）通过放宽预期原则而概括出预期效用理论。对这一表达式的原理分析在附录中有概略的叙述，该分析描述了保证存在唯一一个π与一个比例尺度v满足方程（1）的条件。
对严格为正与严格为负的期望的评估遵循另一条法则。在编辑阶段此类期望被分成两个部分：（ⅰ）无风险部分，即，确定得到的最小收益或确定支付的最小损失；（ⅱ）有风险部分，即，实际上无把握的附加收益或损失。对此类期望的评估在下一个方程中给以描述。
若p q=1且或x>y>0或x<y<0，则
（2）V(x,p;y,q)=v(y) π(p)[v(x)-v(y)]
即，严格为正或严格为负的期望的价值，等于无风险部分的价值加上结果的价值差与绝对值较大的结果的相关权重的乘积。例如，V(400,0.25;100,0.75)=v(100) π(0.25)[v(400)-v(100)]。方程（2）的基本特征是将一个决策权重应用于价值差v(x)-v(y)（表示期望的无风险部分），而不是应用于v(y)（表示有风险的部分）。注重：方程（2）的右边等于π(p)v(x) [1-π(p)]v(y)。由此，假如π(p) π(1-p)=1，方程（2）就简化为方程（1）。如我们稍后将看到的，该条件并非总是被满足的。
评估模型的许多因素已经在以前对预期效用理论进行修改的尝试中出现。Markowitz是首位提出应根据损益而不是根据最终的资产状况对效用进行定义的人，这一假说无疑已在大多数对效用的实验度量中被接受。Markowitz还注重到风险喜好出现在正期望及负期望的偏好中，并提出一种在正域和负域中均存在上凸区间和下凹区间的效用函数。然而，Markowitz的论述保留了预期原则；因此，他的理论无法解释许多违反该原则的现象；参见表1的例子。
概率为更具普遍性的权重所替代是由Edwards提出的，该模型在几项经验研究中得到检验。类似的模型是由Fellner提出的，他引入决策权重的概念用以解释对模糊性的厌恶。vanDam也提出了类似的模型，他尝试对决策权重进行计量。至于其他的对预期效用理论的批评和替代模型，可以参看Allais、Coombs、Fishburn以及Hansson的论著。
期望理论的方程式保留了通常的二元一次方程的形式，该形式构成了预期效用理论的基础。然而，为了适应本文第一部分中描述的几种效应，我们不得不假设价值依靠于变化而非最终状态，决策权重与所给的概率无关。这些对预期效用理论的背离必然会导致不为规范理论接受的结果，比如不一致性、不切实际以及对优势的违反。正常情况下，在决策者熟悉到自己的偏好不一致、不切实际或者不被接纳时，决策者会自己更正这些异常。然而，在很多情况下，决策者没有机会发现自己的偏好可能违反了自己希望遵守的决策准则。在这些情况下，期望理论指出的异常就很可能出现。
价值函数（TheValueFunction）
本理论的基本特征在于价值的载体是财富或福利的变化而不是其最终状态。这项假设与感觉及判定的基本原理是相一致的。我们的知觉器官适宜于评估变化或差异而不适宜于评估绝对值。当我们对亮度、音量或温度此类属性做出反应时，过去与现今的经验情况限定了某种适应标准（或参考点），而外界刺激就针对该参考点被感觉到。因此，对给定温度物体的触觉感受可能为热，也可能为冷，这取决于人对温度的适应。同一原理也可用于非感觉类型的属性，比如健康、威望以及财富。例如，同样级别的财富对一个人可能意味着赤贫，而对另一个人可能意味着豪富，这取决于他们目前的资产。
对变化作为价值载体的强调不应被理解为某一特定变化的价值独立于初始状态。严格地说，基于两个论据价值应被当作一个函数：作为参考点的资产状况，以及距参考点的变化数量（正的或负的）。比如说，某个人对待金钱的态度可以用一本书来描述，其中，书的每一页表示某一特定资产状况的变化的价值函数。显然，按照不同的页码描述的价值函数是不相同的；随着资产的增加它们可能会变得更接近线性。然而，期望的偏好次序并不会因资产状况小的甚至中等程度的变化而发生重大改变。例如，对于大多数人来说，期望（1000，0.50）的确定等价物位于300至400之间资产状况的宽广区间内。因而，基于一个论据将价值表达为函数形式，一般会产生令人满足的近似结果。
感觉与知觉在许多方面都具有心理反应是物理变化量的下凹函数这一性质。例如，分辨出室内温度发生了3º变化或6º变化，比分辨出室内温度发生了13º变化或16º变化更为轻易。我们建议将这一原理尤其应应用于对货币形式的变化的评估。因此，收益100与收益200之间的价值差别比收益1100与收益1200之间的价值差别显得更大。类似地，损失100与损失200之间的差别比损失1100与损失1200之间的差别显得更大，除非人们无法承受较大的损失。因此，我们假设财富变化的价值函数通常在参考点上方下凹（对于x>0，v¹¹(x)<0），通常在参考点下方上凸（对于x<0，v¹¹(x)>0）。即，收益与损失的边际价值一般均随着收益或损失的量的增加而减少。Galanter与Pliner已经报告了对这项假设的支持，他们测量了所观察到的货币形式非货币形式的损益数量。
上述关于价值函数外形的假设是基于人们在无风险条件下对损益的反应。我们认为得自于风险选择的价值函数也具有这一性质，如下列问题所示。
问题13：
（6000，0.25），或（4000，0.25；2000，0.25）。
N=68[18][82]*
问题13’：
（-6000，0.25）或（-4000，0.25；-2000，0.25）。
N=64[70]*[30]
对上述问题中的众数偏好应用方程（1），得到
π(0.25)v(6000)<π(0.25)[v(4000) v(2000)]且
π(0.25)v(-6000)>π(0.25)[v(-4000) v(-2000)]。
因此，v(6000)<v(4000) v(2000)且v(-6000)>v(-4000) v(-2000)。这些偏好与价值函数对收益下凹对损失上凸的假设一致。
任何对资金效用函数的讨论都必须考虑非凡情况对偏好的影响。例如，某个需要60000美元购买一所房子的人，在接近要害价值时其效用函数可能会出现异常陡峭的上升。类似地，一个人对损失的厌恶在接近会迫使其出售自己的房子并搬到不太喜欢的地区时可能会急剧上升。因此，某人所得到的价值（效用）函数并非总是反映着对金钱的“单纯的”态度，因为该函数可能会受到与特定数量有关的非凡结果的影响。这样的烦扰会很轻易在收益的价值函数中产生上凸域，在损失的价值函数中产生下凹域。后一个案例可能更为常见，因为较大的损失通常会造成生活方式的改变。
对福利变化的态度的一个显著特征在于损失比收益显得更为突出。一个人在损失一笔钱时所体验的恼怒要超过他得到同样数量的钱时所体验的快乐。事实上，大多数人发现（x,0.50;-x,0.50）形式的对称下注（译注：即收益与损失相等）明显缺乏吸引力。而且，人们对对称的公平下注的厌恶一般会随着赌注的数目而增加。即，若x>y≥0，则(y,0.50;-y,0.50)优于(x,0.50;-x,0.50)。根据方程（1），有
v(y) v(-y)>v(x) v(-x)及v(-y)-v(-x)>v(x)-v(y)。
令y=0得v(x)<-v(-x)，并使y渐近于x得到v¹(x)<v¹(-x)，假如v¹存在，对v求导。因此，损失的价值函数比收益的价值函数更为陡峭。
概括一下，我们提出了价值函数：（ⅰ）根据对参考点的偏离进行定义；（ⅱ）通常对收益下凹对损失上凸；（ⅲ）对损失比收益更陡峭。满足这些特征的价值函数如图3所示。注重：我们提出的S形价值函数在参考点处最为陡峭，这一点明显与Markowitz假设的效用函数形成对比。Markowitz的效用函数在该区域相对比较平缓。
尽管目前的理论可以用来由期望之间的偏好得出价值函数，但由于决策权重的引入，实际的度量要比效用理论中复杂得多。例如，甚至对于线性的价值函数，决策权重也会产生风险厌恶及风险喜好。不过，令人感爱好的是，价值函数的主要特性已在vonNeumann-Morgenstern对财富变化的效用函数所做的具体分析中被观察到。该函数是对来自于不同商业领域的30位决策者所做的5项独立的研究中得到的。多数收益的效用函数是下凹的，多数损失的效用函数是上凸的，仅有3个人既对收益也对损失表现出风险厌恶。除了一个例外情况，损失的效用函数比收益的效用函数陡峭得多。
权重函数（TheWeightingFunction）
在期望理论中，每个结果的值都与一个决策权重相乘。决策权重由期望之间的选择导出，几乎相当于在Ramsey-Savage的方法中主观概率由偏好导出。然而，决策权重并不是概率；它们不遵循概率原理也不应被解释为对程度或信念的测量。
来看一种赌博，你可以从中赢得1000或者什么都赢不到，这取决于一枚均匀的硬币的抛掷结果。对于任何具有理性的人，在这种情况下赢的概率为0.50。这一点可以通过种种方法加以证实，例如，通过指出受试者对下注于正面或下注于反面的选择不感爱好，或者通过受试者的口头报告，他认为这两个事件具有同样的可能性。然而，正如下面将要指出的，得自于选择的决策权重π(0.50)可能会小于0.50。决策权重测量的是事件对期望满足度的影响，而不仅仅是这些事件的被感知到的可能性。假如预期原则有效（而不是其他的原则有效），那么，这两种尺度就是一致的（即，π(p)=p）。
本文所讨论的选择问题被表述为明确的数字概率形式，我们的分析假设回答者采用了给定的p值。而且，既然事件仅仅通过其给定的概率进行验证，那么，在这种条件下就有可能将决策权重表示为给定概率的函数。然而，一般地，附属于某个事件的决策权重可能会受到其他因素（比如，模糊性）的影响。
现在，我们开始讨论权重函数π的显著特性，这些特性将决策权重与给定的概率联系起来。自然，π是p的增函数，有π(0)=0与π(1)=1。即，由一个不可能事件引发的结果可被忽视，尺度被标准化使得π(p)成为概率p有关的权重与确定结果有关的权重的比例。
我们首先讨论小概率权重函数的一些特性。问题8与问题8¹中的偏好提示我们，对于小值p，π是p的弱可加函数，即，对于0<r<1有π(rp)>rπ(p)。回忆一下，在问题8中（6000，0.001）优于（3000，0.002）。因此
根据v的下凹性，有π(0.001)/π(0.002)>v(3000)/v(6000)>1/2。
问题8¹中的反射偏好得出了同样的结论。然而，问题7与问题7¹中的偏好模式提示我们，弱可加性不一定对大值p有效。
而且，我们提出很小的概率通常会被权重过度（overweighted），即，对于小p有π(p)>p。来看下面的选择问题。
问题14：
（5000，0.001），或（5）。
N=72[72]*[24]
问题14¹：
（-5000，0.001），或（-5）。
N=72[17][83]*
注重：在问题14中，人们偏好的是彩票功效而不是其预期价值。另一方面，在问题14¹中，人们偏好小损失（可以被视为支付保险费）而不是小概率的大损失。类似的观察结果已为Markowitz所披露。本理论认为，问题14中对彩票的偏好表示π(0.001)v(5000)>v(5)，由此π(0.001)>v(5)/v(5000)>0.001，假设收益的价值函数下凹。问题14¹中愿意支付保险费意味着同样的结论，假设损失的价值函数上凸。
将权重过度（系指决策权重的一个特性）与高估（通常出现在对罕见事件的概率评估中）区别开来是很重要的。注重：高估的结果不会出现在目前的情况中，这里的受试者被假定采用了给定的p值。在很多现实情况中，高估与权重过度可能都会导致加大罕见事件的影响。
虽然对于小概率有π(p)>p，但有证据提出，对于所有的0<p<1，有π(p) π(1-p)<1。我们称这种特性为次确定性（subcertainty）。在Allais例子的任何一个版本中（例子参见问题1与问题2）很轻易看出典型的偏好表示p相关值的次确定性的。对问题1与问题2中的优势偏好应用方程（1）分别得出，
v(2400)>π(0.66)v(2400) π(0.33)v(2500)，即
[1-π(0.66)]v(2400)>π(0.33)v(2500)及
π(0.33)v(2500)>π(0.34)v(2500)；由此
1-π(0.66)>π(0.34)，或π(0.66) π(0.34)<1。
对Allais的原始例子应用同样的分析，得π(0.89) π(0.11)<1。MacCrimmon与Larsson披露的数据意味着p的附加值的次确定性。
在区间（0，1）中π的斜率可以被看作偏好对概率变化的敏感度的测量。次确定性要求π须对p回归，即，偏好对概率变化的敏感性一般不如预期原则所要求的那样敏感。因此，次确定性捕捉到人们对不确定事件的态度的一个基本因素，也就是，与补充事件有关的权重数量一般小于与确定事件有关的权重数量。
回忆一下，本文前面讨论的对替代原则的违反遵循以下法则：若(x,p)等于(y,pq)则(x,pr)不优于(y,pqr)，0<p,q,r≤1。由方程（1），
π(p)v(x)=π(pq)v(y)表示π(pr)v(x)≤π(pqr)v(y)；由此，
π(pq)/π(p)≤π(pqr)/π(pr)。
因此，对于固定比例的概率，概率小时比概率大时，对应的决策权重的比例更接近于整体1。π的这一特性被称为次比例性（subproportionality），这一特性对π的外形施加了相当大的影响：当且仅当logπ是logp的上凸函数时该特性有效。
值得注重的是，次比例性以及对小概率的权重过度表示π在整个区间上是弱可加的。形式上，可以看出，若π(p)>p且次比例性有效，则π(rp)>rπ(p)，0<r<1，假如π在（0，1）上单调连续。
图4描述了一个假设的权重函数，该函数满足对小值p的权重过度与弱可加性，以及次确定性与次比例性等条件。这些特性使得π必需在开区间上相对平缓而在靠近端点处（其中，π(0)=0与π(1)=1）急剧变化。π在端点处的急剧下降或明显的不连续，与能够附属于某个事件的决策权重无论有多小（假如给以权重的话）都存在极限（注：即可对其求极限）这一观点是相一致的。类似的量化怀疑可能会对任何小于整体1的决策权重强加一个上限。这些量化效应可能反映了确定性与不确定性之间明确的区别。另一方面，在编辑阶段对期望的简化会导致个人舍弃概率极小的事件，并将概率极大的事件当作确定性来对待。由于人们局限于自己对极端概率的理解能力与评估能力，因此，非常不可能的事件要么被忽视要么被权重过度，大概率与确定性之间的差异要么被忽视要么被夸大。因而，在接近端点处π的表现是不正常的。
图4一种假设的权重函数
下面的例子（由Zeckhauser提出）说明了假设的π的非线性（nonlinearity）。假定你被迫玩俄罗斯轮盘赌，但是你被给以机会花钱从装了子弹的手枪中卸掉一颗子弹。将子弹的数目从4减至3与将子弹的数目从1减至0，你是否会支付同样的钱？多数人感到，与将死亡的概率从4/6降低至3/6相比，他们会愿意支付多得多的钱将死亡的概率从1/6降低至0。在后一种情况下，经济方面的考虑会导致人们支付更多的金钱，这种情况下，金钱的价值大概由于无法再活着享用金钱这个很大的概率而降低。
对π(p)≠p这一假设一个明显的反对意见涉及到(x,p;x,q)形式与(x,p¹;x,q¹)形式的期望的比较，其中，p q=p¹ q¹<1。既然每个人都确定对这两个期望之间的区别不感爱好，那么可以证实，这一观察结果要求有π(p) π(q)=π(p¹) π(q¹)，这里依次表示π为恒等函数。这一论点对于本理论是站不住脚的，因为本理论假设相同结果的概率在期望的编辑中进行合并。对π的非线性的一个更为严厉的反对意见涉及到对优势可能的违反。设x>y>0,p>p¹，且p q=p¹ q¹<1；由此，(x,p;y,q)支配(x,p¹;y,q¹)。假如偏好遵循优势，则
π(p)v(x) π(q)v(y)>π(p¹)v(x) π(q¹)v(y)，
或
。
由此，随着y渐进于x，有π(p)-π(p¹)渐进于π(q¹)-π(q)。既然p-p¹=q¹-q，π一定基本上是线性的，否则优势必定被违反。
在本理论中，假设在期望评估之前占优势的选择方案已被查出并消除，因此直接的优势违反得到阻止。然而，本理论答应间接的优势违反，例如，三个一组的期望使A优于B，B优于C，C支配A。参见Raiffa的一个例子。
最后，应注重目前的论述是关于最简单的决策任务的，即，一个人在两个可得到的期望中进行选择。我们没有具体论述更复杂的生产任务（比如，竞拍），即决策者形成一个在价值上等于某个给定期望的选择方案。这种情况下两个选项之间的不对称可能会产生系统偏差。事实上，Lichtenstein与Slovic已构造一对期望A与B，使得人们一般偏好A胜于B，但为B出价高过为A出价。这一现象已在几项对假设及实际的赌博的研究中得到证实，参见Grether与Plott的例子。因此，一般无法假设期望的偏好次序能够通过竞拍过程被发现。
由于期望理论已作为一种选择模型被提出，所以，竞拍与选择的不一致性意味着价值与决策权重的测量应基于指定期望之间的选择，而不是基于竞拍或其他生产任务。这种限制使得对v和π的估测更为困难，因为生产任务更加便于衡量而不是成对比较。
4、讨论（DISCUSSION）
在最后一节，我们将说明期望理论如何解释观察到风险态度、讨论因参考点的移动而引起的选择问题的替代表述，并概述本论述的几个扩展。
说明：因本文最后一部分涉及较多的数学公式，很难完整地贴到论坛上，因此不再续贴。有爱好的朋友可私下交流。：）